bc外接圆的圆心为o，p、q分别在线段ca、ab上，k、l、m分别是bp、cq、pq的中点，圆Г过k、l、m并且与pq相切。证明：op=oq。”
秦元清这一题审题完成，倒是觉得这一题比上一题容易一些，没有设陷阱。先是做了一个圆，然后化作△abc，然后又作出ca、ab线段以及p、q二点，然后标出bp、cq、pq的中点k、l、m。最后作出圆Г。
随后以直线pq与圆Г相切，相切点m，然后通过弦切角定理得出∠qmk=∠mlk。由于点k、m分别是bp、pq的中点，所以km∥bq，从而得出∠qmk=∠aqp。
因此得到∠mlk=∠aqp。
同理，∠mkl=∠apq。
根据角的相等，得到△mkl∽△apo，从而得到mk/ml=ap/aq
因为k、l、m分别是线段bp、cq、pq的中点，所以得到km=bq/2，lm=cp/2，将此带入上式得bq/cp=ap/aq，将式子转为ap·cp=aq·bq。通过圆幂定理知op2=oa2-ap·cp=oa2-aq·bq=oq2
所以，得出结论op=oq。
秦元清连检查都没有检查，将抽向的数学问题转为图像，这个是他擅长的地方，他有十全的把握证明。
紧接着秦元清看向第三题，“3、s1，s2，s3，......是严格递增的正整数数列，并且它的子数列ss1、ss2、ss3，.....和ss1+1，ss2+1，ss3+1......都是等差数列。证明：s1，s2，s3......是一个等差数列。”
看着这一题，秦元清微皱起眉头，这一题明显比前面两道题难得多，秦元清将已知条件稍微捋了一下，这一道题融合了等差数列、以及转换法。
秦元清一步一步地展开，通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列，设ssk=a+（k-1）d1，ssk+1=b+（k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈n+）。
将问题转为函数、数列后，以sk 因此a-b≤（k-1）（d2-d1）≤a+d1-b。由k的任意性知d2-